\subsection{反常积分判敛与计算}

	\begin{ti}
		设 $a,b > 0$，反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{a} (2020 + x)^{b}} \dd{x}$ 收敛，则\kuo.

		\twoch{$a < 1$ 且 $b > 1$}{$a > 1$ 且 $b > 1$}{$a < 1$ 且 $a + b > 1$}{$a > 1$ 且 $a + b > 1$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $a > b > 0$，反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{a} + x^{b}} \dd{x}$ 收敛，则\kuo.

		\twoch{$a > 1$ 且 $b > 1$}{$a > 1$ 且 $b < 1$}{$a < 1$ 且 $a + b > 1$}{$a < 1$ 且 $b < 1$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $a, b > 0$，反常积分 $\int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \frac{\dd{x}}{\cos^{a}x \sin^{b}x}$ 收敛，则\kuo.

		\twoch{$a > 1$ 且 $b > 1$}{$a > 1$ 且 $b < 1$}{$a < 1$ 且 $b > 1$}{$a < 1$ 且 $b < 1$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $a > 0$，$f(x) = \begin{cases}
			\frac{\arctan x}{x^{\frac{a + 1}{2}}}, & 0 < x < 1,\\
			\frac{\ln ( 1 + \sin \frac{1}{x^{a}} )}{x^{b} \ln \cos \frac{1}{x}}, & 1 \leq x < +\infty.
		\end{cases}$ 若 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \dd{x}$ 收敛，则\kuo.

		\twoch{$a > 3$ 且 $a + b > 3$}{$a > 3$ 且 $a + b < 3$}{$a < 3$ 且 $a + b > 3$}{$a < 3$ 且 $a + b < 3$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		判别 $\int_{0}^{1} \bigl( 1 - \frac{\sin x}{x} \bigr)^{- \frac{1}{3}} \dd{x}$ 的敛散性.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		\begin{enumerate}
			\item 证明
			\[
				I = \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln^{p}x} \dd{x}\begin{cases}
					p > 1 \text{ 时，收敛},\\
					p \leq 1 \text{ 时，发散};
				\end{cases}
			\]
			\item 当 $p > 1$ 时，求出 $I$ 的最小值.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $a, b > 0$，反常积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{a} \ln^{b}x} \dd{x}$ 收敛，则\kuo.

		\twoch{$a > 1$ 且 $b > 1$}{$a > 1$ 且 $b < 1$}{$a < 1$ 且 $b > 1$}{$a < 1$ 且 $b < 1$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		判别 $\int_{1}^{+\infty} \bigl[ \ln \bigl( 1 + \frac{1}{x} \bigr) - \frac{1}{1 + x} \bigr] \dd{x}$ 的敛散性.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求反常积分 $\int_{0}^{1} \frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \dd{x} (a,b > 0)$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求反常积分
		\[
			\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{ \bigl(1 + x^{2}\bigr) \bigl(1 + x^{\alpha}\bigr) } \dd{x} (\alpha \ne 0).
		\]
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $\lambda \in \mathbb{R}$，求证：
		\[
			\int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \frac{1}{1 + (\tan x)^{\lambda}} \dd{x} = \int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \frac{1}{1 + (\cot x)^{\lambda}} \dd{x} = \frac{\uppi}{4}.
		\]
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设
		\[
			f(x) = \begin{cases}
				\frac{ 2 + x (\arcsin x)^{2} }{\sqrt{4 - x^{2}}}, & -1 \leq x \leq 1,\\
				\frac{\arctan x}{x^{2}}, & x > 1,
			\end{cases}
		\]
		求 $\int_{-1}^{+\infty} f(x) \dd{x}$.
	\end{ti}